250909

导论

额…要写好Log？

随机过程（概率论）

上来就被montmort问题搞懵了，知道答案后（这里有详细描述）明白了几件非常重要的事
n个人的帽子混成一团然后随机拿，对每个人而言，拿到自己帽子的概率$I_i$都是$\frac{1}{n}$
两个人都拿到自己帽子的概率$P(I_iI_j) = \frac{1}{n(n-1)}$,同理n个人都拿到的概率是$\frac{1}{n!}$ 而所有人都没拿到自己帽子的概率是$1-P(\cup I_i)$，由加法公式可得

$$ P(\cup I_i) = \sum P(I_i) - \sum P(I_iI_j) + \cdots + (-1)^{n-1}P(\cap I_i) \\ = C_n^1\cdot \frac{1}{n} - C_n^2\frac{1}{n(n-1)} + \cdots + C_n^n\frac{1}{n!} \\ = \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k-1}}{k!} $$

剩下的就比较简单了

拼尽全力勉强想起八大分布：0-1分布（伯努利分布）、二项分布B($n,q$)、均匀分布U($a,b$)、指数分布E($\lambda$)、泊松分布P($\lambda$)、正态分布N($\mu,\sigma$)
……还有单点分布$P(X=C)=1$，以及几何分布和超几何分布，但后俩跟今天的没关系，嗯
然后：这个特征函数$\phi(t)=E(e^{jtx})$（是$jtx$不是$\pi x$！！！）怎么涉及复数函数求导啊？\

于是问了一下deepseek。ds：你可以看到，这非常类似于傅里叶变换。
傅里叶变换啊，我大三研究了两周没搞懂就放弃了，怎么还在追我
于是去查了傅里叶变换，发现和欧拉公式有关
于是去查了欧拉公式，发现和泰勒展开有关
于是终于找到自己会的了：把$e^x$的$x$替换成$i\theta$展开，把$i$的幂求出，得到的公式恰好是$\sin\theta + \cos\theta$的展开，因此
$e^{i\theta} = \sin\theta + \cos\theta$
然后傅里叶变换就是

$$ F(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt $$

要求什么函数的往里代就行

回到正题，绕了一圈发现带虚数的函数把$i,j$当成常数正常求导就行了
然后把七种分布的特征函数都求了一遍，感觉微积分也都快扔完了，之后做题补一补吧
特征函数最重要的性质是

$$ \phi^{(k)}(0)=j^kEX^k, k\le n $$

可以用来求X的n阶矩