250911

概率论

一到n维我就懵
记一道例题吧

有$N$个顾客，每个顾客消费数量为$X_i$，且$N$与$X_i$之间相互独立，求平均营业额$X$。

$$\begin{aligned} X &= E(\sum_{i=1}^NX_i) \\ &= \sum_n^{\infty} E(\sum_{i=1}^nX_i | N=n)P(N=n) \space 由相互独立得\\ &= \sum_n^{\infty} nEX_iP(N=n) \\ &= EX_i\sum_n^{\infty}nP(N=n) \\ &= EX_iEN \\ \end{aligned}$$

公式都能看懂，就是不会做题
下面这位更是公式也看不懂

矩阵

矩阵A的值域/列空间R(A)是对任意能乘的x，Ax的空间
矩阵A的零空间/化零子空间N(A)是零Ax=0的所有x的空间

deepseek：矩阵A是烤面包机，R(A)是它能烤出的所有面包，N(A)是它不能处理（输出为0）的所有原料组合

$\alpha$和$\beta$是V1和V2的基，T是V1→V2上的线性映射，且T在$\alpha$和$\beta$下的矩阵是A，V1中向量$\xi$在$\alpha$基下坐标是$x$，V2中向量$\eta$在$\beta$基下坐标是$y$，则$\xi$是R(T)的基的充要条件是$x$是R(A)的基，$\eta$是N(T)的基的充要条件是$y$是N(A)的基

deepseek：V1、V2是两种语言，$\alpha$和$\beta$是组成两种语言的符号集合（比如abc…z和五十音），T是翻译官，A是翻译对照表，$\xi$和$\eta$是两种语境下的两个句子的表示。
那么$\xi$是R(T)的基，意为T$\xi$能表示所有V2的句子，即$x$变换后能翻译出任何V2的句子;
$\eta$是N(T)的基，意为$\eta$囊括了所有T翻不出来的句子，即$y$不是V1经过T能翻译过来的句子。

个人理解：这个定理就是用来说明映射T和矩阵A之间的关系的

子空间的交要列方程求，很麻烦；子空间的并就是把子空间的向量拼到一起，然后行最简形主元所在原列就是基，个数就是维数
不是主元的那些列就是交空间的基，个数就是维数。或者可以通过$Dim(V_1\subset V2)+Dim(V_1+V_2) = DimV_1 + DimV_2$求维数而减少化简量。

求有条件的子空间维度和基，化简出很多线性无关的向量当基然后数个数就行了
比如$C(t)= a_0+a_1t+\dots+a_{n-1}t^{n-1} | C(1)=0$，化简能变成$t^i-1$表示，这就是基，维数就是n-1。

太难了…